Чем отличаются критические точки от стационарных

Чем отличаются критические точки от стационарных

Определения:

Экстремумом называют максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка экстремума – это точка, в которой достигается максимальное или минимальное значение функции.

Точка максимума – это точка, в которой достигается максимальное значение функции.

Точка минимума – это точка, в которой достигается минимальное значение функции.

На рисунке в окрестности точки х = 3 функция достигает максимального значения (то есть в окрестности именно этой точки нет точки выше). В окрестности х = 8 она опять же имеет максимальное значение (снова уточним: именно в этой окрестности нет точки выше). В этих точках возрастание сменяется убыванием. Они являются точками максимума:

В окрестности точки х = 5 достигается минимальное значение функции (то есть в окрестности х=5 точки ниже нет). В этой точке убывание сменяется возрастанием. Она является точкой минимума:

Точки максимума и минимума являются точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Точка xо является точкой максимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) меньше или равно f(xо):

Упрощенная формулировка : если в точке xо производная меняет знак с плюса на минус, то xо является точкой максимума.

Точка хо является точкой минимума, если у нее существует окрестность, во всех точках которой f(x) больше или равно f(xо):

Упрощенная формулировка : если в точке xо производная меняет знак с минуса на плюс, то xо является точкой минимума.

Критические и стационарные точки функции:

Внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная не существует, называют критическими точками.

Внутренние точки области определения функции, при которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

Необходимое условие экстремума:

Читайте также:  Счетчик количества знаков в тексте

Если xо – точка экстремума функции f (x), то в этой точке либо производная обращается в нуль (и это стационарная точка), либо производная не существует (критическая точка).

Достаточное условие экстремума:

Пусть xо – критическая точка. Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак плюс на минус, то xо – точка максимума:

Если производная f ′(x) при переходе слева направо через точку xо меняет знак минус на плюс, то xо – точка минимума:

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

Алгоритм исследования непрерывной функции y = f(x) на монотонность и экстремумы:

2) Найти стационарные (f ′(x) = 0) и критические (f ′(x) не существует) точки функции y = f(x).

3) Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4) Сделать выводы о монотонности функции и ее точках экстремума.

Разделы: Математика

Цели урока:

Обучающая:

  • способствовать выработке навыка отыскания экстремумов функции

Воспитывающая:

  • воспитывать чувство уважения между учащимися для максимального раскрытия их способностей
  • воспитывать аккуратность выполнения записей в тетради и на доске

Развивающая

  • способствовать развитию внимания
  • совершенствовать умения вычислять производные.

Тип урока: комбинированный

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный.

Структура урока

1. Организационный момент. (1-2 мин.)

Учитель здоровается с ребятами и предлагает, посмотрев на экран, догадаться какая тема будет на сегодняшнем уроке.
Далее сообщает цель урока.

2. Актуализация знаний.

Устная работа(1-2 мин.) Заполнение схемы (Учащимся необходимо правильно соединить части правил).

  • Какие точки называются критическими?
  • Необходимое условие экстремума
  • Признак максимума функции.
  • Признак минимума функции
Читайте также:  Как перевести деньги за машину

(За правильный ответ ученик получает бонус)

Достаточный признак возрастания функции: Если f′(х)> 0 в каждой точке интервала I, то функция возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции: Если f′(х) 0 на интервале (а;х°) и f ′ (х) 0 на интервале (х°; в) , то точка х° является точкой максимума функции f .

Теперь коснемся вопроса последовательности операций, которые нужно выполнить при отыскании экстремумов функции.(3-4 минуты)

  • 1. найти область определения функции
  • 2. найти производную функции
  • 3. найти точки, в которых выполняется равенство f(х)=0
  • 4. найти точки, в которых производная не существует
  • Отметить на координатной прямой все критические точки и область определения
  • 5. определить знак производной на каждом из промежутков
  • 6. сделать вывод о наличии или отсутствии экстремумов

Выполнение теста.

Учитель: Ребята, сейчас вам необходимо выполнить тест, который вам поможет разделить понятия максимума и минимума с помощью графиков функции (на тест отводится 3-4 минуты)

Ответы к тесту:

  • Задание 1. -3
  • Задание 2. -1
  • Задание 3. -4
  • Задание 4. -4
  • Задание 5. -4
  • Задание 6. -4

За каждый правильный ответ ученик получает один бонус.

4.Совместное выполнение задания. (10 мин.)
Следующим этапом нашего урока является выполнение задания (один ученик выходит к доске, остальные решают на месте)
Необходимо исследовать на экстремум функцию и построить ее график.

  1. Д(у)=R, т.к. у- многочлен
  2. у′ = 3х(х-2)
  3. у′ = 0 при х=0 , х=2
  4. х=0 – точка максимума
    Х=2- точка минимума
  5. Экстремумы функции у(0)=0
    У(2)=4
  6. Точки пересечения с осями.
    С осью ОХ: у=0 при х=0; х=3 т.е. (0;0) , (3;0)
    С осью оу: х=0,у=0 т.е. (0;0)
  7. функция возрастает на (-∞;0] и [2; ∞)
    Функция убывает [0;2]
  8. график функции

5.Самостоятельная работа. .(5 мин.)

Читайте также:  Как удаленно подключиться к телефону android незаметно

Учащиеся выполняют на месте

Далее на экране появляются правильные ответы, и каждый учащийся дает оценку своему решению.

5 бонусов — верно выполненное задание
4 бонуса – в работе имеются небольшие недочеты
3 бонуса – работа выполнена на 50%

7.Домашнее задание. (2 минуты)

— составить слайды о жизни и деятельности Пьера Ферма
— Найти промежутки возрастания и убывания функции (функции у каждого учащегося на столе)

8.

9. Рефлексия.(2 минуты)

С каким настроением уходите с урока?
— С чем ассоциируется математические понятия максимума и минимума?

  • Как найти стационарные точки функции
  • Как найти на функции промежутки убывания
  • Как найти точку максимума и минимума
  • — функция, которую необходимо исследовать на наличие стационарных точек;
  • — определение стационарных точек: стационарные точки функции — это точки (значения аргумента), в которых производная функции первого порядка обращается в нуль.

Для выполнения данной задачи необходимо уделить особое внимание правилам дифференцирования.

Внимание и концентрация на задаче также помогут с ней справиться — перед выполнением задачи убедитесь в том, что вас ничто не будет отвлекать в процессе ее решения.
Знание стационарных точек функции значительно облегчает построение ее графика, так как именно в этих точках находится максимальное и минимальное значения функции.

Ссылка на основную публикацию
Хайскрин пауэр айс эво
Вас интересуют характеристики Highscreen Power Ice Evo (Хайскрин Повер Ис Эво)? Мы собрали всю важную информацию, чтобы помочь определиться с...
Установить gvlk ключ что это
В связи с недавним выходом окончательной RTM версии пакета Microsoft Office 2016, корпоративные заказчики уже могут начинать переход на новую...
Установить openal32 dll для windows 7
Данная библиотека задействуется во многих процессах во время работы компьютера. Например, она используется в играх, мультимедиа и различных программах. Иногда...
Халявные страницы в вк логины и пароли
Please complete the security check to access youhack.ru Why do I have to complete a CAPTCHA? Completing the CAPTCHA proves...
Adblock detector