Что такое дифференциал в математике простыми словами

Что такое дифференциал в математике простыми словами

Понятие дифференциала функции связано с такими важными математическими разделами как дифференциальное и интегральное исчисление и тесно связано с понятием производной функции. Наиболее часто дифференциал применяется для приближенных вычислений, а также для оценки погрешностей формул и измерений.

Дифференциал функции — это линейная часть приращения функции. Говоря о значении дифференциала функции, рассматривают конкретную точку функции и бесконечно малое изменение аргумента.

Пусть xo есть некоторая точка из области определения функции f(x), а Δx — есть бесконечно малая величина. Тогда дифференциал функции находится как произведение значения производной функции и приращения её аргумента. Дифференциал функции f(x) обозначается как df(x).

История открытия дифференциала

Чаще всего открытие дифференциально-интегрального исчисления принято связывать с именем Исаака Ньютона, однако, этот факт активно оспаривают учёные со всего света.

Действительно, открытие целого нового направления в науке, столь значимого для её развития, было бы ошибочно считать заслугой только одного учёного. Изначально интегрирование связывали с вычислением площадей и объёмов криволинейных фигур. Такие задачи, как известно, решались ещё во времена Архимеда, поэтому его имя также имеет отношение к открытию дифференциального исчисления.

Также дифференцирование имеет отношение к решению задач на проведение касательных к различным кривым. Данное направление активно развивали греческие математики. В те времена математики столкнулись с трудностью, которую не смогли решить в дальнейшем и представители Нового времени.

Дело в том, что для определения направления прямой требовалось знать координаты как минимум двух точек, а касательная имеет лишь одну точку соприкосновения с кривой. Этот факт натолкнул учёных на мысль о том, что в одной точке кривая может иметь несколько касательных. В то время ученые пришли к выводу, что прямая состоит не из точек, а из отрезков минимальной длины. Таким образом, они считали направление касательной в некоторой точке совпадающим с направлением атомарного отрезка в данной точке.

В дальнейшем учёные Нового времени опровергли данную теорию. В этот период огромный вклад в развитие науки внёс Исаак Ньютон. Ученый сформулировал определения и принципы решения производных, а также основы дифференциального исчисления, которых придерживаются учёные и в наши дни.

Дифференциальное исчисление широко применяется в математике и других науках для решения различных задач.

Геометрический смысл дифференциала

Геометрический смысл дифференциала заключается в следующем: дифференциал функции f(x) равен приращению ординаты касательной к графику функции, которая проведена через некоторую точку с координатами (x,y) при изменении координаты x на величину Δх=dx.

Дифференциал является главной линейной частью функции относительно приращения аргумента. Чем меньше приращение функции, тем большая доля приращения приходится на эту линейную часть.

Таким образом, при бесконечно малом Δх, приращение функции можно считать равным ее дифференциалу. Это свойство дифференциала позволяет использовать его для приблизительных вычислений и оценки погрешностей измерений.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Поскольку дифференциал функции является частью ее приращения, то при бесконечно малом приращении аргумента он приблизительно равен приращению функции. При этом чем меньше приращение аргумента, тем точнее значение функции. Этот факт даёт возможность использования дифференциалов для приближённых вычислений.

Читайте также:  Жесткий диск перегружен на 100 процентов

С помощью таких вычислений можно решать различные виды задач. Приближённые вычисления практически всегда связаны с наличием погрешности.

Использование дифференциала для оценки погрешностей

Результаты измерений в большинстве случаев содержат ошибку, обусловленную неточностью измерительных приборов.

Число, несколько превышающее или равное этой неточности, называется «предельной абсолютной погрешностью».

Отношение предельной погрешности к значению измеряемой величины называют «предельной относительной погрешностью».

Для оценки величины погрешностей измерений используют дифференциальное исчисление.

Давайте начнем с дифференциала, а точнее с производной, потому что о ней речь заходит у всех еще в школе. Из школьного определения мы знаем "Производная это отношение приращения функции к приращению аргумента". Проще говоря это отношение изменения функции к изменению аргумента, но эта фраза тоже может быть понятна не всем. Функция это некая величина, которая меняется в некоторой зависимости от другой величины — аргумента. Таким образом производная показывает нам во сколько раз функция изменяется быстрее (или медленнее), чем аргумент. Теперь уточним что такое "приращение". Вообще производная это отношение дифференциалов, а дифференциал некоторой величины это бесконечно малое ее изменение, то есть разница между некоторым начальным и конечным значением, только эти значения мы берем максимально близко друг к другу, как бы изучая изменение функции на каждом максимально маленьком ее участке. Самое очевидное приложение в естественно научной области это описание зависимости изменения расстояния, пройденного некоторым объектом от времени. Разделив бесконечно малое изменение расстояния на соответствующий ему бесконечно малый момент времени (dS/dt, где буква d обозначает что мы берем не абсолютные величины а дифференциалы) мы получим так называемую мгновенную скорость, то есть скорость, которую имел объект в конкретный момент времени. Естественно что эта скорость в другой момент времени может отличаться и тут уже находит свое приложение интеграл. Интегрируя какое то дифференциальное уравнение мы проводим суммирование по некоторой переменной. Обращаясь к нашему примеру со скоростью проинтегрировав по dt в определенных пределах (эти пределы это тоже значения времени но уже не бесконечно близко стоящие друг к другу а какие то реальные, пусть от 0 секунд до 60, например) мы получим среднюю скорость объекта, которую он имел на протяжении этой минуты. Приложение дифференциалов и интегралов в естественных науках невероятно велико и данный пример с скоростью движения просто простейшая иллюстрация, переоценить вклад этого математического аппарата в естественные науки невозможно.

Вообще дифференциально-интегральные исчисления это огромная часть математики именуемая математическим анализом, она несет в себе гораздо гораздо больше чем я написал, это целые курсы лекций как на естественно-научных специальностях, так и на непосредственно математических. Добавлю так же что описное мной выше станет гораздо понятнее если обратится к какому нибудь учебнику, наверное даже, по школьной физике или математике, в котором будут графики зависимости расстояния от времени и на них будут схематично изображены дифференциалы, там же должны быть приведены схожие с моими рассуждения.

Читайте также:  Новые вопросы в инстаграме

Только вот дифференциал функции это не ее "бесконечно малое изменение", а линейная по аргументам часть ее изменения. А то частные производные уже не получится построить.

Ну, просто я пытался объяснить максимально просто, а вдаваться в функции нескольких переменных — значительно усложнить материал.

Максим, огромное спасибо за ответ. Я наконец поняла разницу и смысл. При том, что мучаю учебник матанализа не первый месяц. Респектище. Вы суперпонятно умеете объяснять. Это дар.

Максим, а можете также понятие первообразной так же понятно разложить?

аааааа не понимать лунный язык

Выучи наш лунный язык,

Научись играть на трубе

И живи по полному каждый миг

Так бы я писал самому тебе

Слава Богу, химик а не математик. Тогда понятно. Производная это предел отношения изменения функции к изменению аргумента, когда последний стремится к нулю. И все преподаватели обращали внимание на то, чтобы мы не делали ошибки и не упускали из определения слово ПРЕДЕЛ.

У ДВУХ математических действий дифференцирования: по частному и по полному дифференциалам

должны быть и ДВА обратных действия интегрирования: с константой интегрирования и без константы!

Я уже показал, что Современные математики не знают, что такое интеграл . Почему не знают? Потому, что они читают учебники тех, о ком Леонард Эйлер писал как о людях, так и не понявших смысла дифференциала. Вот слова Эйлера:

В выше указанной статье я давал выдержку из работы Эйлера: "Интегральное исчисление". Сейчас я еще раз дам отрывок из этой выдержки:

Бедолага Эйлер в обоих своих работах о дифференциальном исчислении и об интегральном исчислении постоянно твердит о том, что дифференциалы не могут быть отличными от нуля, иначе их отношение не даст производную!

Но люди с особым специфическим состоянием мозга не могут понять как может существовать мир без пустых множеств и бесконечностей. Этот мир видится им не таким красочным, как рисуется в их воображаемых моделях.

Я давал в статье Необратимая деградация разума или почему дебилы победили Леонарда Эйлера формулу для получения призводной одной из степенных функций с нулем к которому стремится приращение аргумента. Ноль в этом случае означает отсутствие разницы между двумя значениями.

В статье Секта совреманных "математиков" я показал другую формулу, без нулей, которая подробно показывает как два значения аргумента становятся одним произвольным значением.

Но люди со специфическим состоянием мозга не приемлют отсутствие некоей малой величины, которую они обозначают различными буковками и которая позволяет им утверждать о некоем бесконечном числе слагаемых при интегрировании и некоей степени малости при дифференцировании.

Читайте также:  Какой пленкой закрыть окна

Возьмите любой современный учебник матанализа. Там вы увидите вот это выражение: dx = Δx . Что оно означает? То, что дифференциал никогда не может быть равен нулю! Эйлер же утверждал о том, что дифференциал ни при каких обстоятельствах не может быть отличным от нуля!

Кто же прав? Леонард Эйлер или толпа современных "математиков"? Можно привести пример из современных учебников, где стремление к нулю разницы между двумя значениями аргумента на графике функции рассматривается как превращение секущей в касательную к линии графика функции. Пока на графике две точки, то значение производной найти невозможно. Как только обе точки сливаются в одну, то тут же сразу появляется производная со своим определенным значением.

Я не понимаю как можно глядеть в книгу и видеть фигу? Ведь пока приращение между двумя значениями аргумента не стало равным нулю, ни о какой производной речи не шло. Как только появилось значение производной, то это означает. что два значения аргумента стали одним и тем же.

Почему мозг людей, считающих себя высшими интеллектуалами — математиками на столько примитивен, что не понимает, что равенство нулю приращения между двумя значениями означает, что это просто одно и то же значение? Прибавьте к любому значению ноль и вы получите то же самое значение, которое почему-то считается другим(?) значением!

Дифференциал — есть отсутствие приращения, поэтому он не может быть отличен от нуля. Производная — есть отношение двух дифференциалов. Длина окружности — производная площади круга по радиусу. Интеграл длины окружности по дифференциалу радиуса — есть площадь круга. Дифференциал радиуса — есть не расстояние между двумя соседними или любыми другими точками, а та часть линии, которая превращает точку в элемент самой линии. Он не имеет линейного размера. Потому, что его размерность на единицу меньше. Точно так же, как размерность линии на единицу меньше размерности площади круга.

Еще раз. Математика изучает не абсолютные величины, а их соотношения. Число — это отношение исчисляемого количества к количеству, содержащемуся в единице измерения, либо порядкоый номер. Бесконечность не является счетной величиной, потому, что оно определено как отношение к нулю. А ноль не может быть единицей измерения.

Бессмысленно посещать дурку для того, чтобы убеждать пациентов в том, что они зря отрезают себе языки, суют пальцы в розетки или бьются головами о стенки. Я уже понял, что как только некая критическая масса населения получает некий вывих мозга, то процесс уже необратим.

Наверное, именно для такой ситуации природой придумана война. Чтобы нивелировать это фатальное для цивилизации соотношение.

Ссылка на основную публикацию
Что делать если плохо работает отпечаток пальца
Владельцы современных смартфонов на платформе Android нередко сталкиваются с тем, что сканер отпечатков пальцев реагирует недостаточно быстро и точно. Зачастую...
Хайскрин пауэр айс эво
Вас интересуют характеристики Highscreen Power Ice Evo (Хайскрин Повер Ис Эво)? Мы собрали всю важную информацию, чтобы помочь определиться с...
Халявные страницы в вк логины и пароли
Please complete the security check to access youhack.ru Why do I have to complete a CAPTCHA? Completing the CAPTCHA proves...
Что делать если пропал звук в наушниках
Всё о Интернете, сетях, компьютерах, Windows, iOS и Android Нет звука в наушниках на телефоне — что делать?! А Вы...
Adblock detector