Что такое свертка функций

Что такое свертка функций

  • В книжной версии

    Том 29. Москва, 2015, стр. 526

    Скопировать библиографическую ссылку:

    СВЁРТКА ФУ́НКЦИЙ $f$ и $g$ , но­вая функ­ция $$h(x) = int_<-infty>^ <infty>f(x-y) g(y) dy.$$ Опе­ра­ция над функ­ция­ми, за­да­вае­мая этим ин­те­гра­лом, так­же на­зы­ва­ет­ся свёрт­кой и обо­зна­ча­ет­ся $f*g$ . Ес­ли $f$ и $g$ – плот­но­сти рас­пре­де­ле­ний ве­ро­ят­но­стей не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X$ и $Y$ , то $h$ яв­ля­ет­ся плот­но­стью рас­пре­де­ле­ния ве­ро­ят­но­стей сум­мы $X+Y$ . С. ф. рас­пре­де­ле­ния $F$ и $G$ на­зы­ва­ет­ся функ­ция $$H(x) = int_<-infty>^ <infty>F(x-y) dG(y), ag<*>$$ где ин­те­грал по­ни­ма­ет­ся в смыс­ле Стил­ть­е­са. Опе­ра­ция, за­да­вае­мая этим ин­те­гра­лом, обо­зна­ча­ет­ся $F*G$ и так­же на­зы­ва­ет­ся свёрт­кой. Ес­ли $F$ и $G$ – функ­ции рас­пре­де­ле­ния не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин $X$ и $Y$ , то $H(x)=(F*G)(x)$ яв­ля­ет­ся функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния сум­мы $X+Y$ . Ес­ли $Y$ при­ни­ма­ет толь­ко зна­че­ния $y_1, y_2, . $ с ве­ро­ят­но­стя­ми $q_1, q_2, . $ то ин­те­грал в (*) сво­дит­ся к сум­ме $$H(x) = sum_ q_k F(x-y_k).$$ и Опе­ра­ции свёрт­ки ком­му­та­тив­ны и ас­со­циа­тив­ны, по­это­му ес­те­ст­вен­ным об­ра­зом оп­ре­де­ля­ет­ся, напр., мно­го­крат­ная свёрт­ка $F^<*n>$ оди­на­ко­вых функ­ций рас­пре­де­ле­ния $F$ , ко­то­рая яв­ля­ет­ся функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния сум­мы $X_1+. +X_n$ не­за­ви­си­мых слу­чай­ных ве­ли­чин с об­щей функ­ци­ей рас­пре­де­ле­ния $F$ , и спра­вед­ли­во, напр., ра­вен­ст­во $$F^ <*n>- G^ <*n>= sum_^ F^ <*(n-j-1)>* G^ <*j>* (F-G),$$ ко­то­рое яв­ля­ет­ся ана­ло­гом со­от­вет­ст­вую­ще­го ра­вен­ст­ва для сте­пе­ней чи­сел.

    Пусть — две функции вещественной переменной, интегрируемые относительно меры Лебега. Тогда их свёрткой называется функция

    .

    Свойства

    • Коммутативность:

    f * g = g * f .

    • Ассоциативность:

    f * (g * h) = (f * g) * h .

    • Дистрибутивность:

    f * (g + h) = (f * g) + (f * h) ;

    • Ассоциативность умножения на скаляр:

    .

    • Правило дифференцирования:

    D(f * g) = Df * g = f * Dg ,

    где Df обозначает производную функции f .

    • Свойство Фурье-образа:

    ,

    где обозначает преобразование Фурье функции f .

    Свёртка на группах

    Пусть G — группа Ли, оснащённая мерой Хаара m , и — две функции, определённые на G . Тогда их свёрткой называется функция

    .

    Свёртка мер

    Пусть есть борелевское пространство и две меры . Тогда их свёрткой называется мера

    ,

    где обозначает произведение мер μ и ν .

    Свойства

    • Пусть μ,ν абсолютно непрерывны относительно меры Лебега m . Обозначим их производные Радона — Никодима:

    .

    Тогда μ * ν также абсолютно непрерывна относительно m , и её производная Радона — Никодима имеет вид

    Свёртка распределений

    Если — распределения двух независимых случайных величин X и Y , то

    ,

    где — распределение суммы X + Y . В частности, если X,Y абсолютно непрерывны и имеют плотности fX,fY , то случайная величина X + Y также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

    Ссылки

    Методы сжатия

    Теория
    Информация Собственная · Взаимная · Энтропия · Условная энтропия · Сложность · Избыточность Единицы измерения Бит · Нат · Ниббл · Хартли · Формула Хартли Без потерь
    Энтропийное сжатие Алгоритм Хаффмана · Адаптивный алгоритм Хаффмана · Арифметическое кодирование (Алгоритм Шеннона — Фано · Интервальное) · Коды Голомба · Дельта · Универсальный код (Элиаса · Фибоначчи) Словарные методы RLE · · LZ ( · LZSS · LZW · LZWL · · · LZX · LZRW · LZJB · LZT) Прочее RLE · CTW · BWT · PPM · DMC Аудио
    Читайте также:  Использование полупроводников в технике
    Теория Свёртка · PCM · Алиасинг · Дискретизация · Теорема Котельникова Методы LPC (LAR · LSP) · WLPC · CELP · ACELP · A-закон · μ-закон · MDCT · Преобразование Фурье · Психоакустическая модель Прочее Dynamic range compression · Сжатие речи · Полосное кодирование Изображения
    Термины Цветовое пространство · Пиксел · Chroma subsampling · Артефакты сжатия Методы RLE · DPCM · Фрактальный · Wavelet · EZW · SPIHT · LP · ДКП · ПКЛ Прочее Битрейт · Test images · PSNR · Квантование Видео
    Термины Характеристики видео · Кадр · Типы кадров · Качество видео Методы Компенсация движения · ДКП · Квантование Прочее Видеокодек · Rate distortion theory (CBR · ABR · VBR) См. также: Программы для сжатия данных • Стандарты и форматы сжатия

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Смотреть что такое "Свертка функций" в других словарях:

    свертка функций — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN convolution … Справочник технического переводчика

    СВЕРТКА — ф у н к ц и й f (x) и g (x), принадлежащих , функция h(x), определяемая равенством и обозначаемая символом (f*g)(x). Функция f*g определена почти всюду и также принадлежит Свертка обладает основными свойствами операции умножения, а именно: для… … Математическая энциклопедия

    Свертка (математический анализ) — Свёртка функций в функциональном анализе это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. Содержание 1 Свёртка функций 1.1… … Википедия

    Свертка распределений — Свёртка функций в функциональном анализе это операция, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. Содержание 1 Свёртка функций 1.1… … Википедия

    ФУРЬЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — одно из интегральных преобразований, линейный оператор F, действующий в пространстве, элементами к рого являются функции f(х)от пдействительных переменных. Минимальной областью определения Fсчитается совокупность бесконечно дифференцируемых… … Математическая энциклопедия

    ГРУППОВАЯ АЛГЕБРА — группы G над полем K ассоциативная алгебра над полем К, элементами к рой являются всевозможные формальные конечные суммы вида а операции определяются формулами: (в правой части второй формулы сумма также конечна). Эта алгебра обозначается… … Математическая энциклопедия

    ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ — математическое понятие, обобщающее классич. понятие функции. Потребность в таком обобщении возникает во многих технич., физич. и математич. задачах. Понятие О. ф. дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные… … Математическая энциклопедия

    Читайте также:  Как вставить картинку в круг в ворде

    Свёртка Дирихле — В математике Свертка Дирихле это бинарная операция, определенная для арифметических функций, используемая в теории чисел. Она была изобретена и исследована немецким математиком Петером Густавом Леженом Дирихле. Содержание 1 Определение 2… … Википедия

    ОБОБЩЕННОГО СДВИГА ОПЕРАТОРЫ — гипергруппа, понятие, возникшее в результате аксиоматизации нек рых свойств операторов сдвига в пространствах функций на группе. В терминах операторов группового сдвига можно сформулировать такие важные математич. понятия как свертка, групповая… … Математическая энциклопедия

    Свёртка (математический анализ) — У этого термина существуют и другие значения, см. Свёртка. Свёртка функций операция в функциональном анализе, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых … Википедия

    Свертка функций – это важнейшее математическое понятие, которое используется почти во всех областях науки и техники, в том числе, оно широко применяется для оценки систем изображения и для процессинга цифровых изображений. Свертка двух функций – это математическая операция двух функций h(x) и f(x), порождающая третью функцию g(x), которая может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных, например, после операций осреднения или сглаживания. Свертка h(x) и f(x) записывается как hf (символ звездочки). Для непрерывных функций она определяется как интеграл от произведения двух функций после того, как одна реверсируется и смещается. По существу, это особый вид интегрального преобразования:

    (5.9)

    Операция свертки иллюстрируется на рис. 5.8 для двух функций, заданных в виде прямоугольных импульсов разной длительности.

    Рис. 5.8. Пример свертки двух непрерывных функций h(x) и f(x). Более темным цветом показана площадь, равная интегралу (5.9) при разных значениях x (адаптировано из [4])

    Одномерная дискретная свертка двух дискретных функций h(i) и f(i) длиной N определяется как

    (5.10)

    С точки зрения вычислительного процесса более легким и быстрым способом расчета свертки двух функций является использование теоремы свертки. В этой теореме доказывается, что свертка двух функций эквивалентна перемножению их преобразований Фурье в частотном пространстве. Таким образом, уравнение свертки (5.9) можно выразить в виде

    (5.11)

    где H(u) и F(u) – преобразование Фурье функций h(x) и f(x) в частотном пространстве.

    3.4. Дискретные преобразования Фурье

    Для преобразования дискретной формы изображения в частотной пространство традиционно применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ, англ. DFT). Двумерное прямое и обратное дискретные преобразования Фурье для выборки N × N пикселей изображения [f(m,n)] записываются следующим образом:

    (5.12)

    где k и l – координаты в двумерном частотном домене; m и n – координаты в двумерном пространственном домене.

    На практике со второй половины прошлого века большинство расчетов в прямом и обратном преобразовании Фурье выполняется с помощью высокоэффективного метода "быстрого преобразования Фурье".

    Читайте также:  Не включается imac что делать

    3.5. Графическое изображение дискретного преобразования Фурье

    Для лучшего понимания ДПФ рассмотрим графическую иллюстрацию этого процесса, показанную на рис. 5.9. Для простоты проанализируем одномерный сигнал. На левой стороне рис. 5.9 представлены графики функций в пространственном домене и на правой стороне – в частотном домене.

    Рис. 5.9. Графическая иллюстрация дискретного преобразования Фурье [4]

    На рис. 5.9,А и 5.9,В показаны графики сигнала f(x) и его непрерывного преобразованием Фурье F(u). Процесс выборки, как это следует из уравнения (5.5), выполняется умножением f(x) на бесконечную импульсную последовательность с интервалом между импульсами равном Δx (рис. 5.9,С). Преобразование этой последовательности также является бесконечной последовательностью с частотным интервалом равном 1/(Δx) (рис. 5.9,D). Выборочная функция f(n·Δx) показана на рис. рис. 5.9,E.

    Из теоремы свертки известно, что перемножение в одном домене эквивалентно свертке в другом домене. Таким образом, преобразование Фурье f(n·Δx) есть просто функция F(u) (рис. 5.9,B), свернутая с бесконечной последовательность импульсов (рис. 5.9,D). Как можно видеть из рис. рис. 5.9,F, выборка функции порождает репликацию ее преобразования Фурье с периодом 1/(2Δx), и дополнительно наблюдается небольшой эффект наложения, так как репликации более высоких частот имеет тенденцию свертки в частотный диапазон исходной трансформации F(u).

    Согласно теореме свертки, если f(x) не имеет частотного ограничения (т.е. F(u) ≠ 0 для |u| > uc), то возникнет погрешности наложения. Эффект наложения можно уменьшить с помощью сужения интервала выборки (Δx). Дискретная функция, показанная на рис. 5.9,Е, является бесконечно длинной последовательностью. Для представления в цифровом компьютере требуется конечное число выборочных значений. Таким образом, необходимо усечение или оконное представление бесконечной последовательности. Этот шаг очень существенен в процессе выборки и выражается графически через перемножение f(n·Δx) (рис. 5.9,Е) с прямоугольным импульсом шириной, равной полю обзора камеры FOV (рис. 5.9,G). Усеченная выборочная последовательность f(i) показана на рис. 12.6,I. Преобразование Фурье прямоугольного импульса представляет синусоидальну функцию (рис. 5.8,H).

    Из теоремы свертки следует, что перемножение в пространственном домене эквивалентно свертке в частотном домене. Поэтому существенное усечение, которое было реализовано прямоугольным импульсом шириной, равной FOV, эквивалентно свертке выборочной частотной трансформанты с синусоидальней функцией, показанной на рис. 5.8,H. По этой причине частотная трансформация f(i) содержит небольшие пульсации, видимые на рис. 5.9.J. Дискретное преобразование Фурье выполняется выборкой функции, показанной на рис. 5.9.J, с интервалом выборки 1/ FOV в частотном диапазоне Этот анализ наглядно выявил два эффекта, которые вызывает дискретное преобразование Фурье в отличие от непрерывного преобразования Фурье, а именно, частотное наложение и усечение.

    Ссылка на основную публикацию
    Что делать если плохо работает отпечаток пальца
    Владельцы современных смартфонов на платформе Android нередко сталкиваются с тем, что сканер отпечатков пальцев реагирует недостаточно быстро и точно. Зачастую...
    Хайскрин пауэр айс эво
    Вас интересуют характеристики Highscreen Power Ice Evo (Хайскрин Повер Ис Эво)? Мы собрали всю важную информацию, чтобы помочь определиться с...
    Халявные страницы в вк логины и пароли
    Please complete the security check to access youhack.ru Why do I have to complete a CAPTCHA? Completing the CAPTCHA proves...
    Что делать если пропал звук в наушниках
    Всё о Интернете, сетях, компьютерах, Windows, iOS и Android Нет звука в наушниках на телефоне — что делать?! А Вы...
    Adblock detector