Что такое точный квадрат в математике

Что такое точный квадрат в математике

Квадрат (значения) — «Квадрат» может означать одно из следующих понятий: В математике Квадрат (геометрия) правильный четырёхугольник. Квадрат (алгебра) результат умножения числа на само себя. Квадрат (число) целое число, квадратный корень которого… … Википедия

Алгебра — Общие сведения Алгебра один из больших разделов математики (См. Математика), принадлежащий наряду с арифметикой (См. Арифметика) и геометрией (См. Геометрия) к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы А.,… … Большая советская энциклопедия

Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей над некоторым коммутативным кольцом &# … Википедия

АЛГЕБРА — раздел элементарной математики, в котором арифметические операции производятся над числами, значения которых заранее не заданы. Преимущества алгебраических методов обусловлены использованием достаточно компактных символических систем, что внешне… … Энциклопедия Кольера

КОММУТАТИВНАЯ БАНАХОВА АЛГЕБРА — банахова алгебра Ас единицей над полем С, в к рой ху=ух для всех Всякий максимальный идеал К. б. а. Аявляется ядром нек рого линейного непрерывного мультипликативного функционала j на А, т … Математическая энциклопедия

Магический квадрат — Магический, или волшебный квадрат это квадратная таблица , заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то … Википедия

Волшебный квадрат — Магический, или волшебный квадрат это квадратная таблица , заполненная n2 числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он … Википедия

Латинский квадрат — n го порядка таблица L=(lij) размеров n × n, заполненная n элементами упорядоченного множества M таким образом, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы каждый элемент из M встречается в точности один раз. Пример латинского квадрата 3 … Википедия

Элементарная алгебра — Элементарная алгебра самый старый раздел алгебры, в котором изучаются алгебраические выражения и уравнения над вещественными и комплексными числами. Содержание 1 Законы элементарной алгебры 1.1 Правила запи … Википедия

Из основной теоремы арифметики следует, что точный квадрат всегда имеет нечетное число делителей: если число $a=p_<1>^<alpha_<1>> imes p_<2>^<alpha_<2>> imesldots imes p_^<alpha_>$ есть точный квадрат, то показатели степеней $alpha_<1>,alpha_<2>,ldots,alpha_$, четны, а число делителей числа a, равное $(alpha_<1>+1)(alpha_<2>+1)ldots(alpha_+1)$ нечетно.

Точно так же у точного куба число делителей имеет вид 3n+1, у четвертой степени — число вида 4n+11 и т.д.

При работе со степенями целых и натуральных чисел всегда следует иметь в виду, что степень с большим показателем также является и степенью с маленьким показателем: например, а 100 — это одновременно и квадрат пятидесятой степени, и четвертая степень двадцать пятой степени, и пятая степень двадцатой степени, и т.п. Ясно, что показатель степени таким образом можно уменьшить для любого составного числа n, а для простого n это ничего не даст.

При решении задач полезным может оказаться следующее свойство точных квадратов:

Квадрат числа при делении на любое число дает тот же остаток, что и квадрат его остатка.

Действительно, если r — остаток от деления k на b, то k 2 и r 2 дают при делении на b один и тот же остаток: $k^2-r^2=(k-r)(k+r)$, а k-r делится на b.

Читайте также:  Готовые виртуальные машины для virtualbox

Например, число k при делении на 6 может давать остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, их квадраты — 0, 1, 4, 9, 16, 25, а остатки от деления квадратов на 6 — это 0, 1, 4, 3, 4, 1. Таким образом, квадрат числа при делении на 6 не может давать остатков 2 и 5.

Теми же рассуждениями легко получить, что возможные остатки при делении точного квадрата на 3 и на 4 — это 0 или 1.

Пример 1: Является ли число $123^2+345^2+567^2$ точным квадратом?

Ответ: Все три числа в заданной сумме нечетны, следовательно, их квадраты имеют вид 4п+1, так что их сумма имеет вид 4т+3 и поэтому не является точным квадратом.

Пример 2: Является ли число $[50pi]^2+[100pi]^2$ точным квадратом?

Ответ: Поскольку числа $[50pi]$, $[100pi]$ — это на самом деле 157 и 314, то оба они не делятся на 3, и поэтому их квадраты имеют вид Зn+1, а сама заданная сумма имеет вид 3m+2 и, следовательно, не является точным квадратом

Пример 3: Доказать, что если два числа оба не делятся на 3, то их сумма не является точным квадратом.

Ответ: Так как квадрат любого натурального числа, не делящегося на 3, при делении на 3 дает остаток 1, то сумма любых двух таких чисел при делении на 3 дает остаток 2, а такое число не может быть точным квадратом.

Задания типа С6 появились в вариантах ЕГЭ в 2010 году одновременно с отменой группы А (задачи с выбором ответа). Это задание олимпиадного типа, рассчитанное на сильных учащихся, претендующих на поступление в вузы с высокими требованиями к математической подготовке.

Пример задачи С6 образца 2010 года.

Перед каждым из чисел 4, 5, …, 8 и 14, 15, …, 20 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

(Ответ: 1 и 805)

Критерии оценивания выполнения задания С6 образца 2010 года:

Содержание критерия Баллы
Обоснованно получен правильный ответ 4
Ответ правилен, но недостаточно обоснован (например, не доказано, что либо сумма отлична от 0, либо что она может быть равна 1) 3
Верно найдено наибольшее значение суммы и доказано, что она всегда отлична от 0 2
Верно найдено только наибольшее значение суммы или только доказано, что она всегда отлична от 0 1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Что нужно помнить при решении задачи С6?

1. Задача С6 – относительно сложная, поскольку требует нестандартных путей решения. Однако для ее решения не нужны никакие специальные знания, выходящие за рамки школьной программы. Вполне возможно, что она окажется проще и короче решаемой, чем даже задачи С3-С5. Поэтому бояться ее не стоит.

2. В этой задаче ситуация «все или ничего» маловероятна. Продвинуться в решении на 1-2 балла из 4 на самом деле не так уж и сложно – достаточно рассмотреть самый простой частный случай или просто подобрать некоторые решения, удовлетворяющие. Например, если в приведенной выше задаче мы догадаемся, что для нахождения наибольшего значения суммы достаточно подсчитать сумму

Читайте также:  Что такое прокси соединение

7 Х (4 + 5 + 6 + 7 + 8) + 5 х (14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20),

то мы уже получим 1 балл, а если выяснить, что при любых знаках эта сумма будет нечетной, то 2.

Какие темы необходимо повторить перед решением задач С6?

1. Простые и составные числа. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Деление с остатком. Алгоритм Евклида НОД(A, B) = НОД(A, BnA),

Пример:

НОД (546, 658) = НОД (546, 658 — 546) = НОД (546, 112) = НОД (546 — 112 Х 4, 112) =

= НОД (98, 112) = НОД (98, 112 — 98) = НОД (98, 14) = 14.

2. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11. При этом признаки делимости на 3 и на 9 желательно помнить в следующем виде: «Само число и сумма его цифр при делении на 3 (9) дают один и тот же остаток».

Пример:

Сумма цифр числа 123456789101112 равна 51, сумма цифр числа 51 равна 6. Значит, число 123456789101112 делится на 3 нацело, а при делении на 9 дает остаток 6.

3. Десятичная запись числа.

4. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

5. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим.

Для любых неотрицательных чисел выполняется неравенство

=root" title="</n>>=root"/>

причем равенство достигается только при равенстве всех чисел . В частности:

– для любых неотрицательных чисел и выполняется неравенство =sqrt" title="</2>>=sqrt"/> ;

– для любого числа 0" title="a<>0"/> выполняется неравенство =2" title="delim<|>><|>>=2"/> .

Пример:

Найти наибольшее значение выражения

при положительных

Имеем:

При 0" title="x = y = z >0"/>

Таким образом, данное выражение не может принимать значений, больших 1, но может принимать значение 1. Значит, наибольшее значение данного выражения равно 1.

Некоторые полезные факты, которые важно знать до начала решения задач С6.

1. Основная теорема арифметики и количество делителей.

Каждое натуральное число n>1 имеет единственное (с точностью до порядка множителей) разложение на простые множители , где – попарно различные простые числа, – натуральные числа. Данная форма записи называется каноническим разложением числа .

Количество натуральных делителей числа , записанного в канонической форме, равно .

В частности, нечетное количество натуральных делителей может иметь только точный квадрат (так как будет нечетным тогда и только тогда, когда все числа будут четными).

Пример:
Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя, включая 1 и само число.

Если число делится на 42, то оно делится на 2, 3 и 7. Следовательно, данное число имеет вид

, где – некоторое натуральное число, не делящееся ни на 2, ни на 3, ни на 7. Значит, Однако число 42 можно разложить на натуральные множители, большие 1, только одним (с точностью до порядка множителей) способом:Отсюда а и – это числа 2, 3 и 7, взятые в некотором порядке.

Остается перебрать 6 вариантов и записать все возможные значения

При этом вычислять не нужно – ответ будет принят и в такой форме, а у вас будет меньше возможностей допустить ошибку.

Читайте также:  Как сохранить папку на рабочем столе

2. Свойства квадратов целых чисел

В первую очередь нам важно знать, какие остатки могут давать квадраты целых чисел при делении на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Сведем все эти данные в таблицу (которую вам лучше вывести самостоятельно – это простое, но полезное упражнение).

Остатки, которые могут получиться при делении числа вида на Остатки, которые не могут получиться при делении числа вида на
2 0, 1
3 0, 1 2
4 0, 1 2, 3
5 0, 1, 4 2, 3
6 0, 1, 3, 4 2, 5
7 0, 1, 2, 4 3, 5, 6
8 0, 1, 4 2, 3, 5, 6, 7
9 0, 1, 4, 7 2, 3, 5, 6, 8
10 0, 1, 4, 5, 6, 9 2, 3, 7, 8

Пример.
Десятизначное число на 1 больше квадрата натурального числа. Доказать, что в нем есть одинаковые цифры.
Пусть верно обратное: все 10 цифр в этом числе различны. Тогда в записи числа используются все 10 цифр от 0 до 9. Сумма этих цифр 45, следовательно, делится на 9, а точный квадрат, который на 1 меньше , при делении на 9 дает остаток 8, что невозможно. Получили противоречие. Значит, в десятичной записи числа есть одинаковые цифры.

Пример.
Решить уравнение в простых числах:

Подбором легко найти одну пару решений: Докажем, что других решений нет. Будем отталкиваться от возможных остатков, которые может давать при делении на 7. Как догадаться, что нужно рассматривать именно остатки от деления на 7? Ну так других частных решений мы подобрать не смогли, а начинать с чего-то нужно.

Давайте распишем рассуждения по пунктам.

1. Любой точный квадрат при делении на 7 дает остатки 0, 1, 2 и 4 (см. таблицу).

2. 1999 при делении на 7 дает остаток 4.

3. Если то Далее считаем, что не равно 7.

4. не делится на 7 (так как – простое число).

5. Следовательно, при делении на 7 может давать остатки 1, 2 и 4.

6. при делении на 7 может давать остатки 5, 6 и 1.

7. при делении на 7 может давать остатки 2, 4, 1 (докажите это самостоятельно).

8. Остатки при делении левой и правой частей на 7 равны друг другу, а значит, равны 1.

9. Однако дает остаток 1 при делении на 7, только если т.е. – составное число.

10.
Следовательно, – единственное решение в простых числах.

Некоторые приемы и методы решения задач С6 будут рассмотрены в следующих номерах.

Источники для подготовки:
1. Пратусевич М.Я. и др. ЕГЭ 2011. Математика. Задача Сб. Арифметика и алгебра / Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011. – 48 с.
2. Корянов А.Г. Уравнения и неравенства в целых числах (от учебных задач до олимпиадных)
3. Ященко И. В., Шестаков С. А., Захаров П. И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2011 году. Методические указания. – М.: МЦНМО, 2011. – 144 с.

Алексей Ярдухин, 01.03.2011, 11813
рекрут 01 December 2016
Кэтрин 25 June 2014

1. Основная теорема арифметики и количество делителей.
Почему здесь степень берётся 2 и 6 только?
"Остается перебрать 6 вариантов и записать все возможные значения n:

2^6*3^2*7, 2^6*3*7^2, 2^2*3^6*7, 2^2*3*7^6, 2*3^2*7^6, 2*3^6*7^2".

Ссылка на основную публикацию
Что делать если плохо работает отпечаток пальца
Владельцы современных смартфонов на платформе Android нередко сталкиваются с тем, что сканер отпечатков пальцев реагирует недостаточно быстро и точно. Зачастую...
Хайскрин пауэр айс эво
Вас интересуют характеристики Highscreen Power Ice Evo (Хайскрин Повер Ис Эво)? Мы собрали всю важную информацию, чтобы помочь определиться с...
Халявные страницы в вк логины и пароли
Please complete the security check to access youhack.ru Why do I have to complete a CAPTCHA? Completing the CAPTCHA proves...
Что делать если пропал звук в наушниках
Всё о Интернете, сетях, компьютерах, Windows, iOS и Android Нет звука в наушниках на телефоне — что делать?! А Вы...
Adblock detector