Фазовый портрет системы дифференциальных уравнений

Фазовый портрет системы дифференциальных уравнений

Модели, представленные одним дифференциальным уравнением первого порядка (17) не могут описывать реальные процессы, часто имеющие колебательный характер. Такую возможность представляют системы дифференциальных уравнений более высокого порядка. Хорошие результаты получаются при использовании системы двух уравнений первого порядка, допускающей исследование переменных на фазовой плоскости. Остановимся на некоторых общих свойствах таких систем, описываемых в общем виде уравнениями

гдеP(x, y) и Q(x, y) – непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости (х, у – декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные не ниже первого порядка.

Область может быть как неограниченной, так и ограниченной. Биологические или химические переменные не могут быть отрицательными величинами, поэтому область представляет собой положительный квадрант правой полуплоскости:

Часто численное значение переменных может быть ограничено внешними условиями, тогда они могут быть ограничены и снизу и сверху:

Каждому состоянию системы соответствует пара значений переменныхх и у. На фазовой плоскости с осями координат х, у каждая точка М (х, у) соответствует определенному состоянию системы. Эта точка называется изображающей или представляющей. Пусть при t = t координаты изображающей точки будут М(х, у), тогда в каждый последующий момент изображающая точка будет смещаться и принимать положение М(х, у), соответствующее значениям x(t), y(t), образуя фазовую траекторию. Совокупность фазовых траекторий образует фазовый портрет.

Чтобы построить фазовый потрет системы необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке плоскости х, у. Это сложная задача, поэтому используют качественный подход – так называемый метод изоклин. Метод заключается в том, что на фазовой плоскости наносятся линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом. Часто ограничиваются построением главных изоклин: dy/dx = 0 — изоклина горизонтальных касательных к фазовым траекториям, уравнение которой Q(x, y) = 0 и изоклина вертикальных касательных dy/dx = ∞, которой соответствует уравнение P(x, y) = 0.

Точки пересечения главных изоклин представляют собой особые точки, в которых направление касательных к интегральным кривым неопределенно.

Так как решение системы (18) зависит от начальных условий, то иногда, чтобы подчеркнуть это обстоятельство решение записывается

Решение системы уравнений (2) с заданными х, у, t, можно рассматривать как параметрическое уравнение некоторой кривой на фазовой плоскости х, у со временем t в виде параметра. Ясно, что каждая фазовая траектория у = у(х) является проекцией на фазовую плоскость х, у некоторой интегральной кривой в пространстве х, у, t.

Согласно теореме Коши интегральные кривые в пространстве х, у, t и фазовые траектории в плоскости х, у не должны пересекаться. Достижение состояний равновесия происходит только асимптотически при t → ∞. Состояние равновесия х = *х устойчиво по Ляпунову если в момент времени t отклонение от состояния равновесия мало

Очень часто в ряде наук встречается ситуация, когда модель рассматриваемого процесса сводится к дифференциальному уравнению. Причём, в большинстве реальных задач это уравнение довольно сложно решить, или совсем невозможно. И вот тут в полный голос звучит извечный вопрос: как быть?

Читайте также:  Зачем нужна проверка заполнения у реквизитов справочника

Встречайте: фазовые портреты (они же фазовые диаграммы). Простым языком, фазовый портрет — это то, как величины, описывающие состояние системы (a.k.a. динамические переменные), зависят друг от друга. В случае механического движения это координата и скорость, в электричестве это заряд и ток, в известной популяционной задаче это количество хищников и жертв и т.д.

Чем хороши фазовые портреты? А тем, что их можно построить не решая динамические уравнения системы. В некоторых случаях построение фазового портрета становится совсем простой задачей. Однако, одновременно с этим, фазовые портреты дают вдумчивому наблюдателю очень много информации о поведении системы.

Начнём с простого примера — малых колебаний (так же называемых гармоническими). Малые колебания встречаются почти в каждой сфере естественных наук. Для определённости, будем рассматривать колебания металлического стержня, подвешенного за один из концов (частный случай так называемого физического маятника). Можно показать, что его колебания описываются следующим дифференциальным уравнением:

Где x — угол отклонения стержня от вертикали, точка над x означает производную по времени, а коэффициент перед синусом зависит от размера и массы стержня.

Если амплитуда (размах) колебаний достаточно мала, синус можно приближенно заменить его аргументом (вы ведь помните первый замечательный предел, нет?). В таком случае, уравнение принимает следующий вид:

Это уравнение легко решается регулярными методами, но, давайте, попробуем применить к нему метод фазовых портретов. Для этого, домножим уравнение на производную и проинтегрируем его один раз по времени:

Получилось выражение, первый член которого выглядит как кинетическая энергия. Это не случайно — на самом деле мы получили именно закон сохранения энергии. Постоянная Е в правой части (полная энергия системы на единицу массы) может принимать различные значения, которые соответствуют разным начальным состояниям системы.

Полученный нами закон сохранения превратился в уравнение кривой на плоскости (x,u):

Для разных значений Е мы получим разные кривые. Нарисуем несколько таких линий для разных значений энергии:


По горизонтальной оси отложена величина x, по вертикальной — u

Каждая из полученных линий называется фазовой траекторией. Когда меняется состояние системы, изображающая её точка движется по одной из этих траекторий, стрелки указывают направление движения изображающей точки.

По графику видно, что значения скорости и координаты меняются циклическим образом, то есть периодически повторяются. Отсюда можно сделать вывод, что описываемая рассмотренным уравнением система будет совершать колебания. Бинго! Именно так ведёт себя маятник, и если решить уравнение, решение будет иметь вид периодических функций (а именно — комбинации синуса и косинуса).

Следует однако помнить, что замена синуса его аргументом оправдана лишь для малых углов отклонения (от 10 градусов и меньше), поэтому мы не можем доверять тем траекториям, которые выходят за границы области, ограниченной жирными пунктирными линиями, то есть из четырех приведенных траекторий лишь оранжевая достоверно отображает реальность. Кроме того, поскольку x это угол, то его значения, соответствующие 180 и -180 градусам описывают одно и то же положение стержня, то есть правая и левая пунктирные линии (тонкие) на графике это на самом деле одна и та же линия.

Читайте также:  Пластиковые окна novline отзывы

Теперь, поскольку нам понятна суть, можно перейти к чему-то посложнее. Выше мы очень сильно упростили уравнение и при этом ограничили себя только малыми колебаниями. Математик бы сказал, что мы линеаризовали уравнение и пренебрегли нелинейными эффектами. Так давайте включим в рассмотрение нелинейность. Вернёмся к самому первому уравнению — с синусом. Если мы повторим с ним то, что проделали с линейным уравнением, мы получим следующий закон сохранения:

В зависимости от значения энергии, мы опять получаем разные кривые, которые приведены на следующем рисунке, причем выбраны те же значения энергии, что и на первой диаграмме, и те же цвета для линий.


По горизонтальной оси отложена величина x, по вертикальной — u

Как видите, процессы происходящее в системе стали более разнообразными:

При малых энергиях (оранжевая и синяя траектории) существует колебательный режим, но колебания уже не являются гармоническими — фазовые траектории уже не имеют форму эллипсов.

При больших энергиях (зеленая траектория) колебаний уже нет, вместо этого мы получаем вращательное движение с переменной скоростью. И действительно, если достаточно сильно «толкнуть» стержень, он будет вращаться, замедляясь при подъёме и ускоряясь при спуске.

При определенном промежуточном значении энергии получается особый набор траекторий, которые отделяют друг от друга области соответствующие разным типам движения и поэтому называются сепаратрисами. И да, значение энергии для красной кривой было выбрано мной именно так, чтобы в нелинейном случае получилась сепаратриса. Каждая ветвь сепаратрисы это траектория, соответствующая особому типу движения. Посмотрим на диаграмму: движение начинается с очень маленькой скоростью от одного крайнего положения стержня, при приближении к положению равновесия скорость растёт, а после изображающая точка все более замедляясь уходит к крайнему положению, где и останавливается. Это соответствует тому, что мы поднимаем стержень вертикально вверх и отпускаем его, проносясь через положение равновесия он поднимается к верхней точке с другой стороны и останавливается.

А теперь давайте посмотрим насколько близки к истине наши выводы, сделанные на основе фазовых портретов. Перед вами график решения линейного уравнения:


По горизонтальной оси отложено время, по вертикальной — x


По горизонтальной оси отложено время, по вертикальной — x

Цветовая маркировка на этих графиках такая же, как и на фазовых портретах. Судить о том, насколько верные выводы были сделаны на основе фазовых портретов я предоставлю вам, дорогие читатели. Обращу ваше внимание только на один момент — колебания в линейном случае происходят синхронно — с одной и той же частотой. В нелинейном же случае, частота колебания с большей амплитудой (синяя линия) оказывается меньше, чем у колебания с малой амплитудой (оранжевая линия). Это служит еще одним подтверждением того, что нелинейные колебания не являются гармоническими.

Читайте также:  Как сделать заливку текста в фотошопе

Ну и напоследок: это всего лишь поверхностный экскурс в метод фазовых портретов, и словосочетание «на пальцах» попало в заголовок неспроста. Те же, кто решит углубиться в перипетии данного предмета, увидят, что за фазовыми портретами скрывается намного большее.

Основные понятия

Фазовая плоскость и фазовый портрет

Наиболее интересные результаты по качественному моделированию свойств биологических систем получены на моделях из двух дифференциальных уравнений, которые допускают качественное исследование с помощью метода фазовой плоскости. Напомним некоторые понятия качественной теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида

где Р(х,у), Q(x,y) — непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости (х, у — декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого.

Область G может быть как неограниченной, так и ограниченной. Если переменные ж, у имеют конкретный биологический смысл (концентрации веществ, численности видов), то чаще всего область G представляет собой положительный квадрант правой полуплоскости:

Концентрации веществ или численности видов также могут быть ограничены сверху объемом сосуда или площадью ареала обитания. Тогда область значений переменных имеет вид:

Переменные х, у во времени изменяются в соответствии с системой уравнений (5.1) так, что каждому состоянию системы соответствует пара значений переменных (х, у). Обратно, каждой паре переменных (x, у) соответствует определенное состояние системы.

Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных х,у. Каждая точка М этой плоскости соответствует определенному состоянию системы. Такая плоскость называется фазовой плоскостью и изображает совокупность всех состояний системы. Точка М(х,у) называется изображающей, или представляющей, точкой.

Пусть в начальный момент времени t = to координаты изображающей точки Mo(x(to),y(to)). В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет смещаться в соответствии с изменениями значений переменных x(t), y(t). Совокупность точек М(х(?), y(t)) на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x(t),y(t) согласно уравнениям (5.1), называется фазовой траекторией.

Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает легко обозримый «портрет» системы. Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о характере изменений переменных х, у без знания аналитических решений исходной системы уравнений (5.1).

Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке фазовой плоскости. Задавая приращение At > 0, получим соответствующие приращения Ах и Ау из выражений:

Задача построения векторного поля упрощается, если получить выражение для фазовых траекторий в аналитическом виде. Для этого разделим второе уравнение системы (5.1) на первое:

Решение этого уравнения у = у(х, с), или в неявном виде F(x,y) = с, где с — постоянная интегрирования, дает семейство интегральных кривых уравнения (5.2) — фазовых траекторий системы (5.1) на плоскости х, у.

Ссылка на основную публикацию
Установить gvlk ключ что это
В связи с недавним выходом окончательной RTM версии пакета Microsoft Office 2016, корпоративные заказчики уже могут начинать переход на новую...
Топ вай фай адаптеров для пк
На заре развития интернета люди пользовались только проводным трафиком. После этого в «моду» начали входить модемы, которые подключались к беспроводному...
Топ дешевых наушников с хорошим звуком
Проводные наушники должны умереть! Так решил мобильный рынок и производители смартфонов, стремительно избавляющиеся от устаревшего 3,5 мм джека. Стоит ли...
Установить openal32 dll для windows 7
Данная библиотека задействуется во многих процессах во время работы компьютера. Например, она используется в играх, мультимедиа и различных программах. Иногда...
Adblock detector