Формула для нахождения косинуса угла между векторами

Формула для нахождения косинуса угла между векторами

Из выражения для скалярного произведения векторов

Выражая скалярное произведение и модули векторов через их проекции по формулам (57) и (69), получим формулу для нахождения косинуса угла между векторами:

Пример. Вычислить косинус угла между векторами .

Решение. По формуле (72) находим

Перейдем теперь к рассмотрению второго вида умножения двух векторов.

Нахождение координат и длин вектора.
Вычисление угла между векторами.
Составление уравнение плоскости по трем точкам.

Решение задач с доказательством.

Для того, чтобы успешно решать задачи методом координат, полезно помнить:

Чтобы задать вектор, проходящий черерз 2 точки, нужно из координат второй точки вычесть координаты первой точки.

Чтобы найти длину вектора, нужно извлечь корень квадратный из суммы квадратов его координат.

Задача. Найти координаты и длины векторов AB, BC, AC, если точки имееют координаты А = (5; 8; 3), B = (1; 0; −3), C = (−2; 5; −1).

AB = (1−5; 0-8; −3−3) = (−4; −8; −6)

AC = (−2−5; 5−8; −1−3) = (−7; −3; −4)

BC = (1−(−2); 0−5; −1−3) = (3; −5; −4)

Для нахождения угла между двумя векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):

Задача. Найдите площадь треугольника, ограниченную точками A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).

  1. Находим координаты векторов.
  2. Вычисляем косинус угла между векторами.
  3. Через основное тригометрическое тождество получаем синус.
  4. Подставляем в формулу площади.

AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)

AC = (−1−(−4); 0−4; 6−4) = (3; −4; 2)

Задача. Задайте уравнение плоскости, проходящей через точки A = ( − 4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = ( − 1; 0; 6).

  1. Находим координаты векторов.
  2. Задаем матрицу плоскости.
  3. Вычисляем ее определитель, это и есть уравнение плоскости.

AB = (3−(−4); 1−4; 0−4) = (7; −3; −4)

Первая строчка заполняется переменными x, y, z, и из них вычитаются координаты любой точки плоскости. В данном случае вычитается точка С = ( − 1; 0; 6). Тогда получится такая строка: (x−(−1); y − 0; z−6).

Читайте также:  Как восстановить данные на смартфоне

Вторая строчка — координаты первого вектора.

Третья строчка — координаты второго вектора (нет разницы какой из векторов задавать во второй строчке, а какой в третьей).

Четвертая заполняется аналогично первой.

Пятая — аналогично второй.

Теперь перемножаем все значения на одном синем отрезке и складываем с другими значениями на других отрезках:

Аналогично делаем с зелеными отрезками:

Осталось из значений синих отрезков вычесть значения зеленых отрезков:

= −22х −26y − 19z + 92

−22х −26y −19z + 92 — искомое уравнение плоскости, проходящей через точки A = (−4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = (−1; 0; 6).

P.s. Если вам кажется, что это сложно, то огорчу вас. Одна из первых тем (самых простых), которые вы будите проходить на первом курсе любого университета — это матрицы, так что можно немного облегчить себе жизнь и разобраться заранее.

Задача. Найдите угол между плоскостью, проходящей через точки A = ( − 4; 4; 4), B = (3; 1; 0), C = ( − 1; 0; 6), и плоскостью, заданную уравнением

14x + 6y − 27z + 51 = 0.

  1. Задаем уравнение плоскости, проходящей через 3 точки ( нашли в предыдущей задаче).
  2. Находим косинус угла между плоскостями ( формула аналогична косинусу угла между прямыми).

Ссылка на основную публикацию
Установить gvlk ключ что это
В связи с недавним выходом окончательной RTM версии пакета Microsoft Office 2016, корпоративные заказчики уже могут начинать переход на новую...
Топ вай фай адаптеров для пк
На заре развития интернета люди пользовались только проводным трафиком. После этого в «моду» начали входить модемы, которые подключались к беспроводному...
Топ дешевых наушников с хорошим звуком
Проводные наушники должны умереть! Так решил мобильный рынок и производители смартфонов, стремительно избавляющиеся от устаревшего 3,5 мм джека. Стоит ли...
Установить openal32 dll для windows 7
Данная библиотека задействуется во многих процессах во время работы компьютера. Например, она используется в играх, мультимедиа и различных программах. Иногда...
Adblock detector