Формулы гиперболического синуса и косинуса

Формулы гиперболического синуса и косинуса

Определения гиперболических функций, их области определений и значений

Графики гиперболических функций

Формулы с гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; ctg iz = – i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = – i ctg z
Здесь i – мнимая единица, i 2 = – 1 .

Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.

Четность

sh( –x ) = – sh x ; ch( –x ) = ch x .
th( –x ) = – th x ; cth( –x ) = – cth x .

Функция ch( x ) – четная. Функции sh( x ) , th( x ) , cth( x ) – нечетные.

Разность квадратов

ch 2 x – sh 2 x = 1 .

Формулы суммы и разности аргументов

sh( x ± y ) = sh x ch y ± ch x sh y ,
ch( x ± y ) = ch x ch y ± sh x sh y ,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x ,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x – 1 = 1 + 2 sh 2 x ,
.

До сих пор мы рассматривали тригонометрические функции лишь в случае вещественного аргумента. Определим тригонометрические функции при любом комплексном аргументе z по формулам Эйлера:

причем выражения, стоящие справа, при любом комплексном z имеют смысл, указанный в [176]. Пользуясь этими формулами и основными свойствами показательной функции, нетрудно проверить справедливасть формул тригонометрии в случае комплексного аргумента.

Предлагаем читателю в качестве упражнения доказать, например, соотношения

Функцни определяются по формулам

Введем теперь гиперболические функции. Гиперболические синус и косинус определяются по формулам

Пользуясь этими формулами, нетрудно проверить, например, следующие соотношения:

Таким образом возникает гиперболическая тригонометрия с формулами, аналогичными формулам обычной тригонометрии круга. Заменяя в формуле обычной тригонометрии на на , получим аналогичную формулу гиперболической тригонометрии. Это обстоятельство вытекает непосредственно из формул, определяющих гиперболические функции,

Пользуясь этим указанием, нетрудно получить следующие формулы приведения суммы гиперболических функций к логарифмическому виду:

Рассмотрим теперь гиперболические функции при вещественных значениях аргумента:

Читайте также:  Игра happy glass 156 уровень

График функции представляет собой цепную линию [78], к более подробному изучению которой мы перейдем в [178]. Графики функций изображены на рис. 171.

Непосредственно дифференцируя, получаем следующие выражения производных:

Отсюда получаем таблицу интегралов:

Самое название „гиперболические функциив произошло вследствие того, что функции играют ту же роль для параметрического представления равнобочной гиперболы

какую функции для окружности

Параметрическое представление окружности есть

равнобочной же гиперболы

как в этом нетрудно убедиться при помощи соотношения

Геометрическое значение параметра t в обоих случаях, окружности и гиперболы, также одинаково.

Если мы обозначим через S площадь сектора АОМ (рис. 172), а через площадь всего круга , то, очевидно,

Пусть теперь обозначает площадь аналогичного сектора равнобочной гиперболы (рис. 173). Мы имеем

Вычисляя интеграл по формуле из [92], находим:

Если теперь, обозначая опять через площадь круга, положим

то найдем без труда

откуда, складывая почленно и умножая на у:

т. е. мы и получаем параметрическое представление равнобочной гиперболы.

Расчетное комплексное число(радианы или градусы)
Точность вычисления от 1 до 14
Гиперболический синус числа
Гиперболический косинус числа
Гиперболический тангенс числа
Гиперболический котангенс числа
Если исходное число было в градусах, то
Гиперболический синус числа (если заданное число было в градусах)
Гиперболический косинус числа (если заданное число было в градусах)
Гиперболический тангенс числа (если заданное число было в градусах)
Гиперболический котангенс числа (если заданное число было в градусах)

В статье рассматривается способы расчета и выдача значений гиперболических фунций от комплесного числа

Гиперболический синус комплексного числа

Если представить комплексное число как

То гиперболический синус числа, выраженный через экспоненту комплексного числа

Гиперболический косинус комплексного числа

То гиперболический косинус числа, выраженный через экспоненту

Читайте также:  Монитор benq zowie rl2455t

Введите в поле число, комплексное или вещественное и программа выдаст результат

Гиперболический тангенс комплексного числа

То гиперболический тангенс числа, выраженный через гиперболический синус и гиперболический косинус

Гиперболический котангенс КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Гиперболический котангенс комплексного числа решается как обратная величина гиперболического тангенса.

Ссылка на основную публикацию
Установить gvlk ключ что это
В связи с недавним выходом окончательной RTM версии пакета Microsoft Office 2016, корпоративные заказчики уже могут начинать переход на новую...
Топ вай фай адаптеров для пк
На заре развития интернета люди пользовались только проводным трафиком. После этого в «моду» начали входить модемы, которые подключались к беспроводному...
Топ дешевых наушников с хорошим звуком
Проводные наушники должны умереть! Так решил мобильный рынок и производители смартфонов, стремительно избавляющиеся от устаревшего 3,5 мм джека. Стоит ли...
Установить openal32 dll для windows 7
Данная библиотека задействуется во многих процессах во время работы компьютера. Например, она используется в играх, мультимедиа и различных программах. Иногда...
Adblock detector