Ядро и образ линейного оператора примеры

Ядро и образ линейного оператора примеры

В векторном пространстве V над произвольным полем P задан линейный оператор .

Определение9.8. Ядром линейного оператора  называется множество векторов пространства V , образом которых является нулевой вектор. Принятое обозначение для этого множества: Ker, т. е.

Теорема 9.7. Ядро линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.9. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора. dim Ker = d.

Определение 9.10. Образом линейного оператора  называется множество образов векторов пространства V . Обозначение для этого множества Im, т. е. Im = <(х) | хV>.

Теорема 9.8. Образ линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.11. Размерность образа линейного оператора называется рангом линейного оператора. dim Im = r.

Теорема 9.9. Пространство V является прямой суммой ядра и образа заданного в нем линейного оператора. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства V.

Пример 9.3. 1) В пространстве R[x](3) найти ранг и дефект оператора дифференцирования. Найдем те многочлены, производная которых равна нулю. Это многочлены нулевой степени, следовательно, Ker = <f | f = c> и d = 1. Производные многочленов, степень которых не превосходит трех, образуют множество многочленов, степень которых не превосходит двух, следовательно, Im = R[x](2) и r = 3.

2) Если линейный оператор задан матрицей M(), то для нахождения его ядра надо решить уравнение (х) = о, которое в матричной форме выглядит так: M()[x] = [о]. Из этого следует, что базисом ядра линейного оператора является фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M(). Систему образующих образа линейного оператора составляют векторы (e1), (e2), …, (en). Базис этой системы векторов дает базис образа линейного оператора.

9.6. Обратимые линейные операторы

Определение 9.12. Линейный оператор  называется обратимым, если существует линейный оператор ψ такой что выполняется равенство ψ = ψ = , где  – тождественный оператор.

Читайте также:  Настройка вин 7 для ssd

Теорема 9.10. Если линейный оператор  обратим, то оператор ψ определяется единственным образом и называется обратным для оператора .

В этом случае оператор, обратный для оператора , обозначается  –1 .

Теорема 9.11. Линейный оператор  обратим тогда и только тогда, когда обратима его матрица M(), при этом M( –1 ) = (M()) –1 .

Из этой теоремы следует, что ранг обратимого линейного оператора равен размерности пространства, а дефект равен нулю.

Решение. Составим матрицу этого линейного оператора: M() = . Так как = 0 то матрица M() необратима, а значит, необратим и линейный оператор .

Решение. Матрица этого линейного оператора, равная M() = , обратима, так как |M()| ≠ 0. (M()) –1 = , поэтому  –1 = (2х1х2, –3х1 + 2х2).

Ядро и образ линейного оператора.

Определение. Множество называется ядром линейного оператора и обозначается kerA

Определение. Множество векторов , являющихся значениями этого оператора называется образом линейного оператора и обозначается imA

Размерность образа линейного оператора называется рангом , а размерность ядра- дефектом линейного оператора .

Теорема. Ядро линейного оператора A переводимого L→ является подпространством в L, а его образ подпространством .

Теорема: «О размерности ядра и образа».

Если L – конечномерное пространство, то dim ker A+ dim im A= dimLZ

Матрица линейного оператора.

Рассмотрим линейный оператор A из пространства , где – линейные векторные пространства размерности n и m над общим полем P.

Фиксируем какой-нибудь базис, в пространстве и базис

В силу линейности оператора A:

, поэтому A полностью определяется своим действием над базисными векторами .

Разложим образы базисных векторов по базису пространства образа, т.е. базисные векторы пространства по базису

где j=1, (от 1 до n)

⇒ равенство в матричной форме:

Матрица возникшая справа, называется матрицей линейного оператора А в паре базисов и

Читайте также:  Ace stream media для windows 10

Матрица, составленная из координатных столбцов векторов ,называется матрицей линейного оператора.

Пример: Пусть A: L – оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени

Обратный оператор.

Оператор A из L→ называется обратным, если существует оператор B: →L, такой что A(B(y))=y, ∀y ∈ ; B(A(x))=x, ∀x∈L, при этом B называется обратным оператором для A.

Если линейный оператор обратим, то обратный оператор так же линейный.

Теорема. Пусть A:L→ , линейный оператор, а L и – конечномерные пространства одинаковой размерности, то А является обратимым оператором, тогда и только тогда, когда ядро оператора А состоит из нулевого вектора: kerA =

Замечание. Если линейный оператор A: L→ , обратим, то обязательно множество является образом оператора А = imA

Замечание. В тоже время условие , равное образу А ( = imA) не всегда говорят о том, что оператор А обратим.

Если не вырожденный линейный оператор А пространства L в некотором базисе задается матрицей А (так же не вырождена), то обратный оператор задается в этом же базисе матрицей .

Ортогональные матрицы.

Пусть имеется евклидово n-мерное пространство .

Определение. Матрица ортонормированной системы векторов называется ортогональной. Для таких ортонормированных векторов имеем

Единичные матрицы ортогональны. Например, ортогональными являются следующие единичные матрицы:

.

Теорема. Для того чтобы матрица А была ортогональной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство .

□ Если обозначить , то элементы этой матрицы будут равны

элементы транспонированной матрицы. Но это означает, что или . И обратно, если , имеем равенство

Что означает ортогональность матрицы А. ■

1. Модуль определителя ортогональной матрицы равен1.

2. Ортогональная матрица – невырожденная.

3. Произведение двух ортогональных матриц – ортогональная матрица.

4. Необходимым и достаточным условием ортогональности матрицы А является .

5. При транспонировании ортогональной матрицы получается ортогональная матрица.

6. Матрица, обратная ортогональной, тоже ортогональна.

Но сумма ортогональных матриц не является ортогональной.

Теорема. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Читайте также:  Showjet ru сам открывается как удалить

Определение. Ортогональный оператор – это оператор евклидова пространства, матрица которого ортогональна в некотором ортонормированном базисе.

Теорема. Линейный оператор евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда оно переводит ортонормированный базис в ортонормированный.

□ По предыдущей теореме матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной, следовательно, линейный оператор, соответствующий данной матрицы, ортогонален. И обратно, если имеется линейный оператор в некотором ортонормированном базисе с ортогональной матрицей, то из ортогональности следует, что

Где каждый из векторов второго базиса равен ( ), коэффициенты этого разложения составляют k-ый столбец ортогональной матрицы перехода. Отсюда следует ортонормированность базиса . ■

Известно, что ортогональный оператор не меняет скалярного произведения векторов (следует из выражения скалярного произведения через координаты векторов в ортонормированном базисе), а следовательно, не меняется норма вектора и угол между двумя векторами.

Ядро и образ линейного оператора.

Определение. Множество называется ядром линейного оператора и обозначается kerA

Определение. Множество векторов , являющихся значениями этого оператора называется образом линейного оператора и обозначается imA

Размерность образа линейного оператора называется рангом , а размерность ядра- дефектом линейного оператора .

Теорема. Ядро линейного оператора A переводимого L→ является подпространством в L, а его образ подпространством .

Теорема: «О размерности ядра и образа».

Если L – конечномерное пространство, то dim ker A+ dim im A= dimLZ

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Ссылка на основную публикацию
Шпионский софт родом из холода
Borderlands: The Pre-Sequel! Разработчики 2K Australia Gearbox Software Издатели 2K Games Часть серии Borderlands Дата выпуска 17 октября 2014 года...
Что делать если плохо работает отпечаток пальца
Владельцы современных смартфонов на платформе Android нередко сталкиваются с тем, что сканер отпечатков пальцев реагирует недостаточно быстро и точно. Зачастую...
Что делать если пропал звук в наушниках
Всё о Интернете, сетях, компьютерах, Windows, iOS и Android Нет звука в наушниках на телефоне — что делать?! А Вы...
Штампованные диски арриво отзывы
Приветствую всех! Запись будет, как Вы уже догадались, о дисках.Дело в том, что я любитель иметь на автомобиле два комплекта...
Adblock detector