Являются ли числа 220 и 284 дружественными

Являются ли числа 220 и 284 дружественными

Почему числа 220 и 284 называются дружественными? Сегодня в "Своей игре" Кулешов сказал, что ещё пифагорейцы нашли "дружественные чис

Дру́жественные чи́сла — два натуральных числа́, для которых сумма всех делителей первого числа́ (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа́ (кроме него самого) равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные чи́сла: каждое совершенное число дружественно себе. Обычно же, говоря о дружественных числах, имеют в виду пары из двух разных чисел.

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора. Правда пифагорейцы знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284. Только спустя много столетий Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них — 17296 и 18416. Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор.

Формулу, дающую 3 пары дружественных чисел, открыл около 850 арабский астроном и математик Табит ибн Кура (826—901):
где n > 1 — натуральное число, а — простые числа, то 2npq и 2nr — пара дружественных чисел. Эта формула даёт пары (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056) соответственно для , но больше никаких пар дружественных чисел для n

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284.

Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра (826—901). Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел. Много столетий спустя Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них — 17296 и 18416. Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор.

Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На сентябрь 2007 года известно 11994387 пар дружественных чисел. [1] Все они состоят из чисел одной чётности. Существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно. Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше .

Читайте также:  Для чего нужны формы в базе данных

Примеры

Ниже приведены все пары дружественных чисел, меньших 100 000.

  1. 220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)
  2. 1184 и 1210 (Паганини, 1860)
  3. 2620 и 2924 (Эйлер, 1747)
  4. 5020 и 5564 (Эйлер, 1747)
  5. 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
  6. 10744 и 10856 (Эйлер, 1747)
  7. 12285 и 14595 (Браун, 1939)
  8. 17296 и 18416 (Ибн ал-Банна, около 1300, Фариси, около 1300, Ферма, Пьер, 1636)
  9. 63020 и 76084 (Эйлер, 1747)
  10. 66928 и 66992 (Эйлер, 1750)
  11. 67095 и 71145 (Эйлер, 1747)
  12. 69615 и 87633 (Эйлер, 1747)
  13. 79750 и 88730 (Рольф (Rolf), 1964)

Пары дружественных чисел образуют последовательность:

220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, … (последовательность A063990 в OEIS)

Способы построения

Формула Сабита

Если для натурального числа 1" border="0" /> все три числа:

, , ,

являются простыми, то числа и образуют пару дружественных чисел. Эта формула даёт пары (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056) соответственно для , но больше никаких пар дружественных чисел для не существует. Кроме того, многие дружественные числа, например (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле.

Метод Вальтера Боро

Если для пары дружественных чисел вида и числа и являются простыми, причём не делится на , то при всех тех натуральных , при которых оба числа и просты, числа и — дружественные.

См. также

Примечания

  1. Jan Munch Pedersen Known Amicable Pairs

Ссылки

  • M. García, J. M. Pedersen, H. J. J. te Riele (2003). «Amicable pairs, a survey». Report MAS-R0307.
  • Weisstein, Eric W.Amicable Pair (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W.Thâbit ibn Kurrah Rule (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W.Euler’s Rule (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Читайте также:  Угловой переходник для видеокарты к материнской плате

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Дружественные числа" в других словарях:

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА — два натуральных числа, каждое из которых равно сумме правильных делителей другого (т. е. делителей, меньших этого числа). Напр., 284 и 220 … Большой Энциклопедический словарь

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА — ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА, два натуральных числа, каждое из которых равно сумме правильных делителей другого (т. е. делителей, меньших этого числа). Напр., 284 и 220 … Энциклопедический словарь

Дружественные числа — пара натуральных чисел, каждое из которых равно сумме всех собственных (или правильных) делителей другого, т. е. делителей, отличных от самого числа. Д. ч. 284 и 220, имеющие соответствующую сумму делителей 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 … Большая советская энциклопедия

ДРУЖЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА — пара натуральных чисел, каждое из к рых равно сумме собственных делителей другого, т. е. делителей, отличных от самого числа. Определение Д. ч. имеется уже в Началах Евклида, а также в трудах Платона. Древним грекам была известна одна пара Д. ч … Математическая энциклопедия

Числа Армстронга — Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант (англ. pluperfect digital invariant, PPDI) или число Армстронга натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную… … Википедия

Избыточные числа — Избыточное число положительное целое число n, сумма положительных собственных делителей (отличных от n) которого превышает n. Любое натуральное число относится к одному из трёх классов: избыточные числа, совершенные числа, недостаточные… … Википедия

Рецепт Вальтера Боро — Дружественные числа два натуральных числа, для которых сумма всех делителей первого числа (кроме него самого) равна второму числу и сумма всех делителей второго числа (кроме него самого) равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных… … Википедия

Читайте также:  Сайт доктор веб cureit

МАТЕМАТИКИ ИСТОРИЯ — Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом… … Энциклопедия Кольера

Совершенное число — (др. греч. ἀριθμὸς τέλειος) натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (т. е. всех положительных делителей, отличных от самого числа). По мере того как натуральные числа возрастают, совершенные числа встречаются… … Википедия

Число Армстронга — Самовлюблённое число, или совершенный цифровой инвариант (англ. pluperfect digital invariant, PPDI или число Армстронга натуральное число, которое в данной системе счисления равно сумме своих цифр, возведённых в степень, равную количеству его… … Википедия

Дружественные числа (Pascal)

Есть легенда, кторая гласит, что, когда Пифагора спросили, что такое дружба, он ответил: "220 и 284". Так возник термин "дружественные числа". Дружественными числами являются два натуральных числа, таких, что каждое из них равно сумме всех натуральных делителей другого, исключая само это другое число. Действительно, 220 и 284 являются дружественными числами, поскольку сумма делителей числа 220 — это $$1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284,$$ а сумма делителей числа 284 — это $$1+2+4+71+142=220.$$ Можно дать и такое определение дружественных чисел: сумма всех делителей одного и другого такого числа равна сумме обоих чисел. На протяжении веков 220 и 284 были единственной известной парой дружественных чисел. Только в середине XX в., проверяя числа до 1 000 000, нашли 42 пары дружественных чисел. Выполнив эту программу, ЭВМ нашла пять пар дружественных чисел:
220 284
1184 1210
2620 2924
5020 5664
6232 6368

"Салат Фибоначчи. Составлен из вчерашнего и позазавчерашеного салата. "

Ссылка на основную публикацию
Шпионский софт родом из холода
Borderlands: The Pre-Sequel! Разработчики 2K Australia Gearbox Software Издатели 2K Games Часть серии Borderlands Дата выпуска 17 октября 2014 года...
Что делать если плохо работает отпечаток пальца
Владельцы современных смартфонов на платформе Android нередко сталкиваются с тем, что сканер отпечатков пальцев реагирует недостаточно быстро и точно. Зачастую...
Что делать если пропал звук в наушниках
Всё о Интернете, сетях, компьютерах, Windows, iOS и Android Нет звука в наушниках на телефоне — что делать?! А Вы...
Штампованные диски арриво отзывы
Приветствую всех! Запись будет, как Вы уже догадались, о дисках.Дело в том, что я любитель иметь на автомобиле два комплекта...
Adblock detector