Равномерная сходимость степенного ряда

Равномерная сходимость степенного ряда

Степенные ряды.

Введём понятие степенного ряда

Степенным рядом называется функциональный ряд с + с1(z – z) + с2(z – z) 2 + … + сn(z – z) n + …

члены которого есть произведения постоянных с, с1, с2, …, сn, … на степенные функции с целыми показателями степеней от разности (z — z).

Степенной ряд с центром в точке : , где D –область.

— ряд с центром в точке z = 0 (1)

Введём понятие функционального ряда

Пусть существует последовательность функций f(x), f1(x), …, fn(x), … . Функциональным рядом будем называть выражение вида f(x) + f1(x) + … + fn(x) + … .

Теорема Абеля.

1)Пусть степенной ряд (1) сходится в точке .Тогда он сходится абсолютно в любой точке z, для которой | | | |.

Необходимый признак сходимости ряда (Не является достаточным): при

По условию, ряд сходится, следовательно, . Любая последовательность, имеющая предел, ограничена, значит, существует такое число M: для всех n=0, 1,… (2)

Ряд (1) запишем в виде

Учитывая неравенства (2) найдем , т.к. .

Здесь , поэтому последний ряд сходится, а это означает, что сходится ряд , т. е. при |z| | | ряд (1) сходится. Тогда по предыдущему утверждению ряд (1) сходится и в точке , что противоре­чит условию. Итак, для всех z таких, что |z|>| | ряд (1) расходится. [Теорема доказана]

Параметры и радиус сходимости

Сходимость:пусть есть ряда12+…+аn+… Егочастичныесуммы: S1=a1, S2=a1+a2 , …,Sn= a1 +….+ an .Ряд сходится if , где S конечно.

Из теоремы Абеля можно сделать заключение о характере области сходимости степенного ряда. Точка z=0 всегда лежит в области сходимости ряда (1). Если область сходимости отлична от одной точки z=0 и от всей плоскости (z), то существует круг радиуса R, называемый кругом сходимости степенного ряда(1), в каждой точке которого ряд (1) сходится абсолютно, а вне точек круга расходится.

Для определения радиуса круга сходимости используется либо признак Даламбера, либо признак Коши.

Для каждого фиксированного zрассмотрим числовой ряд (3) и применим к нему признак Даламбера. Именно: если существует предел (4) , то ряд (3) сходится, если и расходится, если . Отсюда заключаем, что если выполнено соотношение , то ряд (3) сходится абсолютно, а если имеет место неравенство , то ряд (1) как и ряд (3), расходится.

Т.о., для определения радиуса круга сходимости степенного ряда получаем формулу (5).

Если же к ряду (3) применим признак Коши то получим равенство

из которого заключаем, что ряд (3) сходится, если , и расходится, если . Т.о., радиус круга сходимости Rряда (1) определяется по формуле . (6) (формула Коши — Адамара.)

Радиус сходимости степенного ряда — Rcx= =

Критерий равномерной сходимости.

Для того, чтобы функциональный ряд(в частности степенной ряд) сходился равномерно в области D, необходимо и достаточно, чтобы и : при n>N

, p =0,1,2,3,…

Абсолютная сходимость: ряд а12+…+аn+… сходится абсолютно, если сходится ряд |а1 |+|а2 |+…+|аn|+…

Непрерывность суммы

Свойство степенных рядов. Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная на интервале сходимости ряда. S(z) = z + a1z + a2z 2 + … + anz n + …

Причём, в том конце интервала, где степенной ряд сходится, его сумма S(x) остаётся односторонне непрерывной.

Почленная дифференцируемость

Теорема1:. Cтепенной ряд внутри интервала сходимости (|z| 2 + … + сn(z – z) n + …

Ряд Тейлора

Имеем степенной ряд . Обозначим через f(z) его сумму. Сходится в круге |z — | x , F(x )>F(x ).

2) F(- )=0.

3) F(+ )=1.

4) Функция распределения есть неотрицательная функция 0 A) . (1)

Доказательство: проведем для дискретной случайной величины X. Расположим ее значения в порядке возрастания, из которых часть значений x , x ,…, x будут не более числаА, а другая часть — x ,…, x будут больше А, т.е.x A,…, x >A.

Запишем выражение для математического ожидания M(X):

x p + x p +…+ x p + x p +…+ x p =M(X)

где p , p ,…, p — вероятности того, что случайная величина Х примет значения соответственно x , x ,…, x .

Отбрасывая первые k неотриц. слагаемых получим x p +…+ x p A.

Поэтому P(X>A) ) 0. ( P(|X-a| ) 1 — — другая форма записи неравенства Чебышева, тоже правильная.Ее давал Герман)

Доказательство: Применим неравенство Маркова в форме (1) к случайной величине X’=(X-a) взяв в качестве положительного числа A= . Получим , а M(X-a) есть дисперсия случайной величины X, то из неравенства (4) получаем доказываемое неравенство (3).

Теорема Чебышева

Если дисперсии n независимых С.В. X , X ,…, X ограничены одной и той же постоянной, топри неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их мат. ожиданий (M (x1) = a , M (x2) = a ,…, a =M (xn), т. е.

(5) или .

Докажем формулу (5). По условию M(X )=a , M(X )=a ,…, M(X )=a ,

Возьмем такое С: D(X )

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 42 ; Нарушение авторских прав

Лекция 42.

Атрибуты файлов в NTFS.

1. стандартная информация о файле. Традиционные атрибуты: только для чтения, скрытый, архивный, системный, время создания, число каталогов ссылающихся на файл.

2. список атрибутов, из которых состоит файл.

3. имя файла в символах Unicode. Файл может иметь несколько атрибутов имен, как в Unix системах.

4. дескриптор защиты. Структура данных защиты предохраняющая файл от несанкционированного доступа. Этот атрибут определяет, кто владелец файла и кто имеет доступ к нему.

5. данные. Соответственно данные файла – его содержимое. По умолчанию у файла есть один безымянный атрибут данных, и он может иметь дополнительно именованные данные.

Пункты 1-5 обязательны для каждого файла.

Имя файла в NTFS может содержать любые символы, включая национальный алфавит, т.к. они представлены в Unicode (16 битное представление, максимальная длина 255 символов).

Каталог NTFS представляет собой специальный файл, хранящий ссылки на другие файлы и каталоги, создавая иерархическое строение данных на диске.

Файл каталога поделен на записи, каждая содержит имя файла, базовый атрибут, ссылку на элемент MFT который представляет полную информацию об элементе каталога.

Корневой каталог не чем не отличается от обычного, кроме специальной ссылки на него из начала MFT. Внутренняя структура каталога представляет собой бинарное дерево, т.е. в каталоге имена файлов располагаются таким образом, что бы можно было понять, к какой группе относительно данного элемента находится искомое имя, выше или ниже. Если поиск начинается со среднего элемента, то каждое обращение сужает зону поиска в 2 раза. Если файлы отсортированы по алфавиту, то при поиске производится сравнение начальных букв.

Мы видели, что степенной ряд

(42.1.)

абсолютно сходится во всякой точке внутри его круга сходимости.

Будет ли ряд (42.1.) равномерно сходящимся внутри его круга сходимости, т.е. При .

Ряд не будет равномерно сходящимся при .

В самом деле, с одной стороны, имеем независимо, от , если .

С другой стороны, когда стремится к единице, , функция стремится к бесконечности. Таким, образом, модуль разности не может оставаться меньше любого наперёд заданного положительного числа независимо от , .

Читайте также:

  1. A) Сервис Параметры Вид Отображать Строка состояния команд меню
  2. Абсорбционный способ подготовки газа. Технологическая схема, назначение и устройство аппаратов. Параметры работы,
  3. Автокорреляция уровней временного ряда. Анализ структуры временного ряда на основании коэффициентов автокорреляции
  4. Аммиак (порядок использования, свойства, клиническая картина поражения людей и сельскохозяйственных животных, первая медицинская помощь, защита).
  5. Асинхронная машина. Определение. Назначение. Конструкция. Основные параметры. Режимы работы асинхронной машины. Понятие скольжения.
  6. Билет 26.Первая российская революция. Ее причины, характер, особенности. Основные этапы и значение.
  7. Билет № 11 BIOS компьютера. Производители ROM BIOS. Параметры и распределение CMOS-памяти
  8. Вакуумная ректификационная колонна. Назначение, конструкция, регулируемые параметры, режимы работы установки, место в системе НПЗ.
  9. Вибрационная диагностика насосных агрегатов. Параметры. Нормы вибрации. Критерии вибрационного контроля.
  10. Видео. Параметры видеофайлов — частота кадров, разрешение, цветовая модель и глубина цвета, соотношение сторон экрана. Потоки и их синхронизация. Компенсация движения.
Читайте также:  Гибернация плюсы и минусы
| следующая лекция ==>
Структура тома с файловой системой NTFS | Всякий степенной ряд равномерно сходится в круге

Дата добавления: 2014-01-04 ; Просмотров: 199 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Мы видели, что степенной ряд

абсолютно сходится во всякой точке внутри его круга сходимости. Возникает вопрос: не булет ли ряд (14) равномерно сходящимся внутри его круга сходимости, т. е. при |г| 2 . . . -|-z N | N-f- 1, независимо от z.

если | z | 1 -f-. . .—z N ) не может оставаться меньше

любого наперёд заданного положительного числа, независимо от z,

| z | 1. Однако, всякий степенной ряд равномерно сходится в круге

z^rt если г л |==|ся||г| ,, ^|с/||г л , и так как числовой ряд с общим членом спг л сходится (/•

Ссылка на основную публикацию
Промокод озон на первый заказ через приложение
🔵 Озон - крупная российская торговая площадка, начинавшая свою деятельность как онлайн-маркет книжных новинок. На официальным сайте можно приобрести самые...
Проверка цветов принтера epson
Все, что касается ремонта техники. Только собственные материалы. воскресенье, марта 06, 2011 Тестовые страницы для струйных принтеров Рано или поздно...
Проверочное слово к слову знак препинания
Сервис проверки орфографии и пунктуации онлайн — это уникальный бесплатный сервис поиска ошибок и опечаток. Эффективный алгоритм Text.ru находит множество...
Промокод озон не работает
🔵 Озон - крупная российская торговая площадка, начинавшая свою деятельность как онлайн-маркет книжных новинок. На официальным сайте можно приобрести самые...
Adblock detector